Co to liczby wymierne i jak wykonywać na nich działania?

Liczby wymierne spotykasz niemal na każdym kroku, nawet jeśli nie zawsze zdajesz sobie z tego sprawę.

Używasz ich, gdy dzielisz pizzę, odmierzasz trzy czwarte szklanki mleka czy obliczasz cenę zakupów po obniżce. Towarzyszą Ci więc nie tylko na lekcjach matematyki, ale też w codziennym życiu.

Zrozumienie, co to są liczby wymierne i jak wykonywać na nich działania jest niezbędne, by dobrze napisać maturę. Opanowanie tego tematu sprawi, że inne zagadnienia staną się dużo prostsze i bardziej zrozumiałe.

Jak narodziła się idea liczb wymiernych?

Przenieśmy się na chwilę w czasie. Wyobraźmy sobie pasterza, który musiał wiedzieć, czy wszystkie jego zwierzęta wróciły na noc do zagrody. Do liczenia zwierząt wystarczały proste i intuicyjne liczby naturalne: 0, 1, 2, 3, …

Jednak wraz z upływem czasu świat stawał się coraz bardziej skomplikowany.

Pojawił się handel, a wraz z nim długi. Pojawiła się potrzeba mierzenia temperatury, która przecież może spaść poniżej zera. Narodziła się idea liczb ujemnych, a wraz z nią zbiór liczb całkowitych (czyli zbiór liczb naturalnych wraz z liczbami do nich przeciwnymi): ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Okazało się jednak, że liczby ujemne również nie są wystarczające.

Co zrobić, gdy masz trzy bochenki chleba dla czterech osób? Albo jak podzielić pole między czterech synów? Żeby opisać sprawiedliwy podział, potrzebne były ułamki - czyli właśnie liczby wymierne.

Co to jest liczba wymierna?

Liczba wymierna to każda liczba, którą możesz zapisać w postaci ułamka , gdzie:

• zarówno licznik p, jak i mianownik q są liczbami całkowitymi,

• mianownik q nie jest zerem.

Liczbami wymiernymi są więc na przykład liczby: , , .

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy symbolem . Symbol ten pochodzi od słowa „quotient”, które oznacza „iloraz". To logiczne - w końcu każda liczba wymierna jest ilorazem dwóch liczb całkowitych!

A jak odpowiedzieć na pytanie „co to liczba wymierna” praktycznie, czym jest liczba wymierna  praktycznie, w życiu?

Wyobraź sobie, że dzielisz coś (np. tort) na skończoną liczbę równych części i bierzesz skończoną liczbę takich części. Ilość, którą posiadasz, możesz opisać za pomocą ułamka , w którym mianownik q (dolna liczba) określa, na ile części podzielono całość, a licznik p (górna liczba) wskazuje, ile z tych części zostało wziętych.

Przykładowo, jeśli podzielisz tort na osiem równych kawałków i weźmiesz trzy takie kawałki, to ilość tortu, którą posiadasz, może być opisana za pomocą ułamka .

W jakich postaciach mogą występować liczby wymierne?

Liczby wymierne mogą przybierać różne formy, w tym ułamka zwykłego, dziesiętnego i liczby mieszanej. Warto pamiętać, że są to tylko różne sposoby zapisania tej samej wartości.

1. Ułamek zwykły

Najbardziej klasyczna postać liczby wymiernej to:

gdzie p, q są liczbami całkowitymi, a .

Przykłady:

Gdy licznik jest większy lub równy mianownikowi, ułamek nazywamy niewłaściwym. 

Przykłady liczb wymiernych w postaci ułamków niewłaściwych:

2. Liczba mieszana

Każdy ułamek niewłaściwy można zapisać jako liczbę mieszaną (czyli złożoną z części całkowitej i ułamkowej).

Na przykład:

Każdą liczbę mieszaną można z kolei zapisać w postaci ułamka niewłaściwego.

3. Ułamek dziesiętny

Oprócz zapisu liczby wymiernej za pomocą licznika, mianownika i kreski ułamkowej, można ją także przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego.

Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych są albo skończone (gdy mamy skończoną liczbę cyfr po przecinku) albo nieskończone okresowe (gdy cyfry po przecinku ciągną się bez końca, ale tworzą powtarzający się cykl). 

Oznacza to, że każdą liczbę wymierną można zapisać w postaci ułamka dziesiętnego:

• skończonego , np.:

• nieskończonego okresowego , np.:

Przykłady - liczby wymierne

Wiesz już, co to liczba wymierna i jakie może przybierać postaci. Pokażemy teraz liczby wymierne - przykłady, które pomogą Ci lepiej zobaczyć, co należy do .

Liczbami wymiernymi są:

• Ułamki zwykłe (w tym niewłaściwe), czyli takie, w których licznik i mianownik są liczbami całkowitymi, na przykład:

• Liczby mieszane, na przykład:

  • , bo

  • , bo

• Liczby całkowite, na przykład:

  • 5, bo

  • -17, bo

• Ułamki dziesiętne skończone, na przykład:

  • 1,25, bo

  • 0,10067, bo

• Ułamki dziesiętne nieskończone okresowe, na przykład:

  • 0,333…, bo

  • 1,1666…, bo

Co to znaczy, że skracamy ułamki?

Skracanie ułamków to sposób na zapisanie tej samej liczby w prostszej postaci.

Wyobraź sobie, że masz dwa kawałki pizzy, która została podzielona na osiem kawałków. Zauważ, że gdyby pizza została podzielona na cztery kawałki, to żeby mieć tę samą ilość pizzy, trzeba by wziąć jeden taki kawałek. Widzisz więc, że .

Proces pozwalający zapisać ułamek zwykły w prostszej postaci, zachowując jego wartość, nazywamy skracaniem ułamka.

Jak skracać ułamki? Trzy proste kroki

1. Szukasz liczby większej od 1, która dzieli bez reszty zarówno licznik, jak i mianownik.

2. Dzielisz licznik i mianownik przez tę liczbę.

3. Jeśli powstały licznik i mianownik nadal mają wspólny dzielnik, powtarzasz ten proces.

Ułamek jest w najprostszej postaci, gdy licznik i mianownik nie mają już żadnych wspólnych dzielników większych od 1.

Przykład: 

Skróć ułamek

Działania na liczbach wymiernych

Pokażemy teraz, jak wyglądają działania w zbiorze liczb wymiernych. Zacznijmy od dodawania i odejmowania ułamków.

Jak dodawać i odejmować liczby wymierne?

Obowiązuje tu jedna, złota zasada: wspólny mianownik.

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ich do wspólnego mianownika, a następnie na dodaniu/odjęciu liczników.

Jak znaleźć wspólny mianownik?

• Metoda „na lenia”: Pomnóż mianowniki przez siebie. Zawsze działa, choć czasem prowadzi do dużych liczb.

• Metoda „dla ambitnych”: Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność (NWW) mianowników. To bardziej eleganckie rozwiązanie, które pozwala uniknąć dużych liczb, ale wymaga odrobiny wprawy.

Przykład: Oblicz .

1. Znajdź wspólny mianownik. Dla 3 i 5 będzie to 15.

2. Sprowadź ułamki do znalezionego wcześniej wspólnego mianownika. Licznik i mianownik pierwszego ułamka mnożymy przez 5, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez 3. 

Otrzymujemy: 

3. Dodaj do siebie liczniki (mianownik pozostaje bez zmian).

W przypadku liczb mieszanych dodajemy lub odejmujemy części całkowite niezależnie od części ułamkowych.

Przykład:

Jak mnożyć liczby wymierne?

Mnożenie liczb wymiernych jest jeszcze prostsze niż dodawanie!

Żeby pomnożyć przez siebie dwa ułamki zwykłe, mnożysz licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik.

Przykład: Oblicz .

Uwaga: Zanim pomnożysz przez siebie dwa ułamki, sprawdź, czy czegoś nie da się skrócić „na krzyż". To oszczędza mnóstwo czasu! 

Przykładowo, w działaniu:

 możesz skrócić 4 z 8 (zostanie 1 i 2) oraz 3 z 9 (zostanie 1 i 3). Otrzymasz wtedy:

W przypadku mnożenia przez siebie liczb mieszanych pamiętaj, żeby najpierw zamienić je na ułamki niewłaściwe.

Jak dzielić liczby wymierne? 

Dzielenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu przez odwrotność drugiego ułamka.

Przypomnijmy, że odwrotność ułamka to po prostu ułamek „do góry nogami". Na przykład odwrotnością jest .

Przykład: Oblicz .

W przypadku dzielenia przez siebie liczb mieszanych pamiętaj, żeby najpierw zamienić je na ułamki niewłaściwe.

Kolejność działań na liczbach wymiernych

Na maturze rzadko pojawia się proste dodawanie czy mnożenie ułamków. Najczęściej spotkasz złożone „łańcuchy” działań.

Ale bez paniki! Kolejność wykonywania działań jest dokładnie taka sama jak dla liczb całkowitych:

1. Najpierw nawiasy

2. Potem potęgi i pierwiastki

3. Następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej)

4. Na koniec dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej)

Przykład: Oblicz

1. Potęga w nawiasie: .

2. Działanie w nawiasie:

3. Dzielenie:

4. Skracamy 3 z 9 i mnożymy:

Typowe błędy na maturze – na co szczególnie uważać?

1. Dodawanie ułamków bez wspólnego mianownika

Zanim dodasz do siebie ułamki, zawsze sprowadź je do wspólnego mianownika.

np. żeby dodać do siebie , najpierw musisz oba ułamki sprowadzić do wspólnego mianownika, jakim jest 12:

2. Mylenie liczby mieszanej z mnożeniem

Pamiętaj, że to nie to samo co

Liczba mieszana oznacza

,

a nie iloczyn

.

3. Niewłaściwa kolejność działań

Pilnuj kolejności wykonywania działań: najpierw nawiasy, potem potęgowanie i pierwiastkowanie, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie. Jeden źle odczytany zapis potrafi „zjeść” sporo punktów.

Do czego przydają się liczby wymierne?

Liczby wymierne przydają się w wielu sytuacjach. I to częściej, niż myślisz. Są dosłownie wszędzie:

• W kuchni: Każdy przepis kulinarny to festiwal liczb wymiernych. „Weź 1/3 szklanki mąki”, „dodaj 1,5 łyżeczki proszku do pieczenia” itd.

• W sklepie: Zniżka -30% oznacza, że płacisz 7/10 ceny.

• Na wyjeździe ze znajomymi: Kiedy dzielisz koszty noclegu, paliwa czy biletów.

• Podczas remontu: Gdy mieszasz farbę w określonych proporcjach albo liczysz, ile płytek zmieści się w pokoju.

• Właściwie w każdym dziale matematyki: Procentach, funkcjach, równaniach, nierównościach, geometrii, rachunku prawdopodobieństwa. Wszędzie pojawiają się ułamki!

Najczęściej zadawane pytania

Co to liczby wymierne?

Liczby wymierne to liczby, które można zapisać w postaci ułamka , gdzie p i q są liczbami całkowitymi, a .

Jak wyglądają rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych?

Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych są:

• albo skończone, o skończonej liczbie cyfr po przecinku, np. ,

• albo nieskończone okresowe, gdy cyfry po przecinku ciągną się bez końca, ale tworzą powtarzający się cykl, np. .

Jeśli rozwinięcie dziesiętne liczby jest nieskończone i nieokresowe - liczba ta NIE jest wymierna.

Na czym polega dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych?

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych polega na sprowadzeniu ich do wspólnego mianownika, a następnie na dodaniu lub odjęciu liczników.

Na czym polega mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych?

Żeby pomnożyć przez siebie dwa ułamki zwykłe, mnożysz licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Z kolei dzielenie ułamków zwykłych polega na pomnożeniu przez odwrotność drugiego ułamka.

Podsumowanie

Liczby wymierne to jedna z tych rzeczy, które naprawdę warto „mieć w małym palcu”. 

Jeśli zrozumiesz:

• co to liczby wymierne,

• w jakich postaciach mogą występować,

• jak wykonywać działania na liczbach wymiernych,

to bardzo ułatwisz sobie życie - na maturze, w szkole, a także poza nią.

Ćwicz na konkretnych przykładach, zapisuj rozwiązania krok po kroku, a szybko zobaczysz, że to wszystko jest dużo bardziej logiczne, niż mogło się na początku wydawać. A jeśli chcesz mieć pewność, że zdążysz powtórzyć wszystko przed egzaminem, dołącz do naszego kursu maturalnego z matematyki.

Powodzenia!