Liczby niewymierne, czyli liczby które nie dają się zamknąć w ułamku

Żyjemy w świecie, który lubi porządek. Wszystko chcemy zmierzyć, zważyć, policzyć i włożyć do odpowiedniej szufladki. Cena w sklepie, ilość składników w przepisie, nasza waga o poranku - liczby wydają się naszymi posłusznymi sługami. Dają poczucie kontroli nad rzeczywistością. A co, jeśli powiemy Wam, że w samym sercu matematycznego porządku czai się chaos? Co, jeśli istnieją liczby-buntownicy, które wymykają się prostym definicjom? Liczby, które ciągną się w nieskończoność bez żadnego dającego się przewidzieć wzoru, wprawiając w zakłopotanie nawet największe umysły starożytności. Zapnijcie pasy, bo zabieramy Was w podróż do fascynującego świata, gdzie porządek spotyka się z nieskończonością. Poznajmy liczby niewymierne.

Jak to wszystko się zaczęło

Wyobraźcie sobie starożytną Grecję. Światem matematyki rządziło wówczas bractwo Pitagorejczyków - na wpół filozofów, na wpół matematyków, którzy wierzyli, że wszechświat jest harmonią, a tę harmonię da się opisać za pomocą liczb i ich proporcji. Mówiąc prościej: wszystko jest ułamkiem, a ich motto brzmiało: „Wszystko jest liczbą!”.

Pewnego dnia stanęli przed z pozoru banalnym problemem. Jaka jest długość przekątnej kwadratu o boku długości ?

Proste zadanie z geometrii, prawda? Otóż nie do końca. To właśnie to zadanie miało wstrząsnąć posadami ich idealnego, uporządkowanego świata. Wynik, który otrzymali - pierwiastek z dwóch - okazał się... dziwny. Nie dawał się zapisać jako stosunek dwóch liczb całkowitych. To było dla nich odkrycie tak niewiarygodne jak to, że Ziemia nie jest płaska - szok, niedowierzanie i - co gorsza - pokusa, by ukryć tę niewygodną prawdę.

Jedna z legend głosi, że Hippazos z Metapontu, uczeń, który ośmielił się ujawnić światu tajemnicę istnienia liczby niewymiernej, został za karę wyrzucony przez swoich braci za burtę statku. Matematyka bywa śmiertelnie niebezpieczna! To jedno odkrycie zburzyło idealny, wymierny świat i otworzyło drzwi do zupełnie nowego rozumienia liczb.

Zanim nastał chaos: czym są liczby WYMIERNE?

Aby zrozumieć buntowników, musimy najpierw poznać tych „grzecznych”. Na osi liczbowej mamy liczby naturalne , całkowite , a wreszcie - wymierne.

Przepis na liczbę wymierną jest banalnie prosty. Jest to każda liczba, którą da się zapisać w postaci ułamka p/q, gdzie i są liczbami całkowitymi, a oczywiście musi być różne od zera (pamiętamy, nie dzielimy przez zero!).

Na co dzień spotykamy je wszędzie: (czyli ), (czyli ), a nawet urocze (czyli ). Ich tajnym kodem, znakiem rozpoznawczym, jest rozwinięcie dziesiętne. Jest ono albo skończone (jak ), albo nieskończone, ale za to okresowe (jak ). Widać w nim porządek, jakąś powtarzalną melodię.

Przekątna, która zburzyła porządek: Dowód niewymierności  

Zabawmy się w detektywów. Pitagorejczycy nie mogli tego udowodnić, ale my możemy. Użyjemy do tego genialnej metody zwanej dowodem nie wprost (albo dowodem przez sprowadzenie do sprzeczności). Załóżmy na chwilę, że Pitagorejczycy mieli rację i JEST liczbą wymierną. Zobaczmy, dokąd nas to zaprowadzi.

• Krok 1: Zapisujemy nasze założenie.
  Skoro jest wymierna, to można ją zapisać jako ułamek p/q. Co więcej, możemy założyć, że jest to ułamek nieskracalny - czyli p i q nie mają wspólnych dzielników poza jedynką. To jest nasz kluczowy trop!
  

• Krok 2: Matematyczna żonglerka.
  Podnieśmy obie strony do kwadratu:
  
  Teraz pomnóżmy obie strony przez :
  
  Co nam to mówi? Lewa strona jest podzielna przez 2, więc prawa strona ( ) też musi być podzielna przez 2. A jeśli kwadrat liczby jest parzysty, to sama liczba p też musi być parzysta.

• Krok 3: A co z drugą liczbą?
  Skoro ustaliliśmy, że p jest parzyste, możemy je zapisać jako (gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą). Wstawmy teraz to do naszego równania:
  
  

• Podzielmy obie strony przez 2:
  
  I co widzimy? Dokładnie to samo! Tym razem prawa strona jest parzysta, więc lewa też musi być. A to oznacza, że sama liczba q również jest parzysta.

• Moment prawdy: SPRZECZNOŚĆ!
  Chwila, chwila... Na samym początku założyliśmy, że nasz ułamek jest NIESKRACALNY. A co właśnie udowodniliśmy? Że zarówno p jest parzyste (dzieli się przez 2), jak i q jest parzyste (też dzieli się przez 2). To oznacza, że ułamek dałoby się skrócić przez 2! To jednak absurd - sprzeczność z naszym początkowym założeniem.

Nasz wniosek może być tylko jeden: pierwotne założenie musiało być fałszywe. Liczba nie może być liczbą wymierną. Należy do innej, znacznie dziwniejszej rodziny. Tak właśnie poznajemy jedną z pierwszych liczb niewymiernych.

A więc, co to liczby niewymierne? Definicja bez tajemnic

Pora na definicję prosto z mostu. Co to są liczby niewymierne? To takie liczby rzeczywiste, których NIE da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego (gdzie p i q są całkowite, a ). Koniec.

Czym są liczby niewymierne w praktyce? Ich rozwinięcie dziesiętne jest NIESKOŃCZONE i NIEOKRESOWE. Ciągnie się i ciągnie, bez żadnego powtarzającego się schematu, bez żadnej melodii. To matematyczny odpowiednik szumu w radiu, który nigdy się nie zapętla. Wyobraźcie sobie, że liczby wymierne to pojedyncze ziarenka piasku na plaży. Liczby niewymierne to cała reszta - wszystko to, co wypełnia luki między nimi. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy symbolem (czasem spotyka się też ).

Galeria Sław: najsłynniejsze liczby niewymierne (przykłady)

Świat tych liczb ma swoje gwiazdy. Oto kilka z nich:

• Gwiazda numer jeden: Liczba ( )
  Każdy ją zna z geometrii - pojawia się we wzorach na obwód i pole koła. Ale czy każdy wie, że jest niewymierna? Jej cyfry po przecinku ciągną się w nieskończoność bez żadnego wzorca, fascynując matematyków od tysięcy lat. Pi to liczba niewymierna.

• Tajemnicza liczba (liczba Eulera )
  Mniej znana kuzynka Pi, ale równie ważna. Pojawia się wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia ze wzrostem i zmianą: w oprocentowaniu lokat bankowych, wzroście populacji bakterii czy rozpadzie promieniotwórczym. Liczba Eulera to liczba niewymierna.

• Boska proporcja , czyli ( )
  Złota liczba, którą rzekomo odnajdziemy w proporcjach Partenonu, obrazach Leonarda da Vinci, spirali muszli łodzika i układzie ziaren w słoneczniku. Przez wieki uważana za wzór piękna i doskonałej harmonii.

• Cała rodzina pierwiastków.
  To nie tylko ! Niewymierne są też , , , i nieskończenie wiele innych pierwiastków z liczb, które nie są idealnymi kwadratami (lub sześcianami etc.) liczb całkowitych. To najpopularniejsze liczby niewymierne przykłady, jakie możecie spotkać na maturze.

Drugi obowiązkowy gość: niewymierność logarytmu 

Co to liczby niewymierne to jedno, ale jak udowodnić, że dana liczba nią jest? Poza pierwiastkami, na maturze możecie spotkać się z logarytmami. Spójrzmy na . Z definicji logarytm to odpowiedź na pytanie: „Do jakiej potęgi muszę podnieść 2, żeby otrzymać 5?”. Wiemy, że , więc wynik musi być gdzieś pomiędzy 2 a 3. Ale czy da się go zapisać jako ułamek?

Znowu wcielamy się w detektywa i stosujemy dowód nie wprost. Załóżmy, że jest liczbą wymierną, czyli da się go zapisać jako .

Z definicji logarytmu, możemy to zapisać inaczej:

Podnieśmy obie strony do potęgi q:

I tu jest pies pogrzebany! Zatrzymajmy się i pomyślmy. Lewa strona równania to iloczyn samych dwójek. Nieważne ile ich będzie, wynik zawsze będzie liczbą parzystą. Prawa strona to iloczyn samych piątek. Jej ostatnią cyfrą zawsze będzie 5, więc jest to liczba nieparzysta.
Doszliśmy do absurdalnego wniosku, że:
LICZBA PARZYSTA = LICZBA NIEPARZYSTA

To oczywista sprzeczność. Nasze początkowe założenie było błędne. Zatem to kolejna liczba niewymierna.

Jak oswoić te dziwolągi? Działania na liczbach niewymiernych

Znamy już odpowiedź na pytanie: jakie to są liczby niewymierne. Pora na działania na nich. Czy suma dwóch liczb niewymiernych zawsze jest niewymierna? Uwaga, to maturalna pułapka! Nie zawsze. Spójrzmy:
, a zero jest jak najbardziej wymierne.

A co z mnożeniem? Ta sama historia. Czasem wynik będzie wymierny , a czasem nie . Nie ma prostej reguły! Dlatego w zadaniach maturalnych kluczowe jest, by zostawiać wyniki w postaci symbolicznej (np. ). To jest ich DOKŁADNA wartość. Każde zaokrąglenie jest już tylko przybliżeniem.

Warto też wiedzieć, że nie wszystkie liczby niewymierne są takie same. Dzielą się na algebraiczne (jak , które są rozwiązaniem prostych równań) i przestępne (jak , które są o wiele bardziej skomplikowane). Ale to już wiedza dla koneserów.

Podsumowanie: mapa po świecie liczb - co musisz zapamiętać?

Uporządkujmy naszą wiedzę. Świat liczb rzeczywistych dzieli się na dwie wielkie krainy:

• Liczby wymierne: Te „grzeczne”, które da się zapisać jako ułamek . Ich rozwinięcie dziesiętne jest skończone lub nieskończone okresowe.

• Liczby niewymierne: Te „dzikie”, których nie da się zapisać jako ułamek. Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe.

Zapamiętaj maturalne pewniaki [MATURA]: musisz znać i rozumieć dowody niewymierności  oraz przykładowego logarytmu, np.  . Pokazują one piękno matematycznego rozumowania. Miej też w głowie podstawowe liczby niewymierne przykłady: .

Odkrycie liczb niewymiernych było prawdziwą rewolucją. Pokazało, że świat matematyki jest znacznie bogatszy, dziwniejszy i o wiele bardziej fascynujący, niż mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Zostawimy Was z pytaniem: skoro między dwiema dowolnymi liczbami wymiernymi jest nieskończenie wiele liczb niewymiernych, to których liczb jest „więcej”? Bo w matematyce najciekawsze są te pytania, które otwierają kolejne drzwi.

Jeśli czujesz, że przyda Ci się przewodnik, który pomoże Ci okiełznać ten matematyczny chaos i pokaże sprawdzone metody na zadania maturalne, zajrzyj do naszego kursu maturalnego z matematyki. Tam tłumaczymy wszystko krok po kroku.