Czym są liczby rzeczywiste? Przykłady i działania na liczbach rzeczywistych

Ile masz lat? Ile kosztuje bilet do kina? Jaka jest temperatura na zewnątrz?

Odpowiadając na te pytania, używasz liczb w sposób zupełnie naturalny, nie zastanawiając się nawet, co to są liczby rzeczywiste. 

Towarzyszą nam one na każdym kroku - pomagają mierzyć, opisywać i porządkować świat wokół nas. Jednak za tym, co wydaje się oczywiste, kryje się fascynująca historia i wiele zaskakujących idei.

Wyruszymy teraz w podróż po świecie liczb rzeczywistych - od pierwszych prób liczenia, przez pojawienie się liczb ujemnych i ułamków, aż po odkrycie „dziwnych” liczb niewymiernych, które nie chciały dać się zapisać jako ułamek. Uporządkujemy następnie informacje o działaniach na liczbach rzeczywistych. 

Po lekturze tego artykułu zbiór liczb rzeczywistych nie będzie miał przed Tobą tajemnic!

Krótka historia liczb

Wszystko zaczęło się od prostej potrzeby liczenia. Ile mam lat? Ile mój sąsiad ma jabłek? Ile dni zostało do końca zimy? Do tego wystarczały liczby naturalne.

Służyły one (i dalej służą) do określania liczebności i kolejności.

Zbiór liczb naturalnych:

Liczby naturalne były proste i intuicyjne. Szybko się jednak okazało, że to za mało. Jak za ich pomocą opisać fakt, że jesteś komuś winien 10 złotych więcej, niż masz? Albo jak zanotować temperaturę niższą niż ?

Potrzebowaliśmy czegoś więcej. Tak narodziła się idea liczb ujemnych, a wraz z nią zbiór liczb całkowitych (czyli zbiór liczb naturalnych wraz z liczbami do nich przeciwnymi).

Zbiór liczb całkowitych:

Jednak liczby ujemne również nie były wystarczające. Świat rzadko kiedy składa się z idealnie całych kawałków.

Chcemy podzielić tort, odmierzyć pół szklanki mąki, obliczyć, jaką część trasy już przebiegliśmy. Tu z pomocą przyszły ułamki i liczby wymierne.

Liczby wymierne ( ) to wszystkie liczby, które da się zapisać w postaci ułamka , gdzie i są liczbami całkowitymi, a . 

Liczbami wymiernymi są na przykład , a także ułamki dziesiętne o rozwinięciu skończonym (np. ) lub nieskończonym okresowym (np. ). Liczbami wymiernymi są również wszystkie liczby całkowite.

Ludziom wydawało się, że to już wszystko. Że oś liczbowa jest w całości wypełniona przez zbiór liczb wymiernych. Ale czy na pewno?

Wielki kryzys filozoficzny, czyli odkrycie liczb niewymiernych

Starożytni Grecy, a w szczególności pitagorejczycy, wierzyli, że wszechświat jest harmonią, a wszystkie liczby da się zapisać w postaci stosunku dwóch liczb całkowitych. Sądzili, że liczbami wymiernymi można pokryć całą oś liczbową.

To była podstawa ich filozofii. I wtedy zdarzyła się katastrofa.

Bohaterem tego dramatu stał się niewinny kwadrat o boku długości 1. Pitagorejczycy, używając słynnego twierdzenia Pitagorasa, postanowili obliczyć długość jego przekątnej. Wyszło im, że wynosi ona .

Próbowali zapisać tę liczbę w postaci ułamka , ale każda próba kończyła się niepowodzeniem. W końcu udowodniono, że jest to niemożliwe.

To był szok.

Odkrycie liczby, której nie da się zapisać w postaci stosunku dwóch liczb całkowitych, podważyło fundamenty ich światopoglądu.

Tak narodziła się idea liczb niewymiernych. Są to takie liczby, których nie da się przedstawić jako ilorazu dwóch liczb całkowitych.

Ich rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe, co oznacza, że cyfry po przecinku ciągną się bez końca i nigdy nie tworzą powtarzającego się cyklu.

Oprócz , do zbioru liczb niewymiernych należą między innymi (stosunek obwodu koła do jego średnicy), (podstawa logarytmu naturalnego), czy pierwiastek kwadratowy z dowolnej liczby naturalnej, która nie jest kwadratem innej liczby całkowitej.

Liczby rzeczywiste - jakie to liczby?

Liczby rzeczywiste ( ) to zbiór, który powstaje przez połączenie (sumę) zbioru liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych. 

Wyobraź sobie oś liczbową. Każdy, absolutnie każdy, nawet najmniejszy punkcik na osi liczbowej odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej.

Liczby wymierne tworzą na niej gęstą, ale nieciągłą siatkę. Liczby niewymierne wypełniają wszystkie pozostałe „dziury”, tworząc gładkie, ciągłe kontinuum.

Innymi słowy, gdy pojawia się pytanie: „liczby rzeczywiste - jakie to liczby?”, odpowiedź jest zaskakująco prosta: to wszystkie liczby, które można umieścić na osi liczbowej.

Hierarchia zbiorów liczbowych

Zauważ, że:

• liczby naturalne są częścią liczb całkowitych,

• liczby całkowite są częścią liczb wymiernych, 

• liczby wymierne są częścią liczb rzeczywistych.

Można to zapisać za pomocą symbolu zawierania: 

Podstawowe działania w zbiorze liczb rzeczywistych

Wiesz już, co to są liczby rzeczywiste. Omówimy teraz krótko podstawowe działania na liczbach rzeczywistych.

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie

Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie znasz dobrze ze szkoły podstawowej, dlatego tylko przypomnimy o kilku zasadach:

1. Odejmowanie to dodawanie liczby przeciwnej: .

2. Mnożenie przez 0 zawsze daje 0.

3. Minus razy minus daje plus.

4. Minus dzielony przez minus daje plus.

5. Nigdy, przenigdy nie dzielimy przez zero!

Dlaczego nie wolno dzielić przez zero?

Weźmy następujący przykład: , dlatego, że . Gdybyś próbował podzielić , szukałbyś liczby, która pomnożona przez 0 da 6. A taka liczba nie istnieje. Dzielenie przez zero to matematyczne przestępstwo!

Potęgowanie i pierwiastkowanie 

Potęgi i pierwiastki to narzędzia, bez których na maturze ani rusz.

Dokładne ich omówienie to temat na osobny artykuł, dlatego przypomnijmy tylko najważniejsze definicje i wzory:

1. Potęga o wykładniku naturalnym :

np.

2. Potęga o wykładniku zerowym:

np.

3. Potęga o wykładniku ujemnym:

(gdzie )

np.

4. Mnożenie potęg o tych samych podstawach:

5. Pierwiastkowanie to działanie odwrotne do potęgowania. 

np.

6. W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej.

np. nie istnieje coś takiego jak .

7. Pierwiastek można zapisać jako potęgę o wykładniku ułamkowym:

Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań to absolutna podstawa.

Zapamiętaj:

1. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach.

2. Potem potęgowanie i pierwiastkowanie.

3. Następnie mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej).

4. Na koniec dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej).

Czym są logarytmy?

Logarytmy często budzą wśród uczniów strach, zupełnie niesłusznie. Kluczem do ich zrozumienia jest zapamiętanie jednego pytania.

„Do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę , żeby otrzymać liczbę ?".

Logarytm o podstawie z liczby (co zapisujemy ) jest właśnie odpowiedzią na to pytanie.

Na przykład, żeby znaleźć wartość , szukamy odpowiedzi na pytanie: "Do jakiej potęgi trzeba podnieść 2, żeby dostać 8?”. Odpowiedzią jest 3, zatem . 

Warunki istnienia logarytmu :

• podstawa i ,

• liczba logarytmowana .

Liczby rzeczywiste - zadania maturalne

Zobaczmy teraz jak ta cała teoria działa w praktyce.

Zadanie 1. 

Uprość wyrażenie:

Rozwiązanie:

Zapiszmy wszystko jako potęgi liczby i uprośćmy wyrażenie:

Zadanie 2.

Oblicz

Rozwiązanie:

Odpowiedzmy sobie najpierw na dwa pytania:  

• Do jakiej potęgi trzeba podnieść , żeby otrzymać ? Odpowiedź: .  

Do jakiej potęgi trzeba podnieść , żeby otrzymać ? Odpowiedź: .

Zatem

Czy istnieją liczby, które nie są rzeczywiste?

Oczywiście! Spójrz na równanie . To równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie da wyniku ujemnego.

Aby temu zaradzić, matematycy wprowadzili nowy symbol – jednostkę urojoną , która z definicji spełnia warunek .

Tak powstał zupełnie nowy świat liczb zespolonych, czyli liczb postaci (gdzie to liczby rzeczywiste).

Liczby urojone nie pojawiają się jednak ani na maturze podstawowej, ani na rozszerzonej, dlatego na tym etapie nie będziemy zagłębiać się w ten temat.

Podsumowanie

Wiesz już, co to liczby rzeczywiste. To wszystkie liczby, które można zaznaczyć na osi liczbowej, czyli połączenie liczb wymiernych i niewymiernych.

Liczby rzeczywiste pozwalają dokładnie i precyzyjnie opisywać świat oraz zjawiska, które w nim zachodzą - od ruchu planet po ekonomię i giełdowe notowania.

Działania na liczbach rzeczywistych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) są podstawą niemal każdego maturalnego zadania. Dlatego tak ważne jest, byś dobrze je opanował. Powodzenia!