Logarytmy i notacja wykładnicza, czyli matematyka i kalkulator w służbie chemii

Współczesna chemia, z jej rosnącym stopniem skomplikowania i interdyscyplinarnym charakterem, wymaga solidnych podstaw matematycznych. Można zatem śmiało stwierdzić, że matematyka i chemia to dwa nierozerwalnie związane ze sobą obszary nauki, które wzajemnie się uzupełniają i wspierają. Zrozumienie i zastosowanie aparatu matematycznego jest kluczowe dla każdego chemika zarówno w kontekście teoretycznym, jak i praktycznym. Matematyka dostarcza narzędzi niezbędnych do opisu, analizy i interpretacji zjawisk chemicznych, umożliwiając precyzyjne formułowanie praw przyrody oraz przewidywanie wyników eksperymentów.

Chemia to nauka eksperymentalna, wobec czego wymaga dokładnych pomiarów i obliczeń, które są niezbędne do prowadzenia eksperymentów oraz analizowania ich wyników. To właśnie matematyka pozwala na dokładne wyrażenie ilościowe, co jest kluczowe dla powtarzalności i wiarygodności badań naukowych. Statystyka i analiza danych są nieodzownymi narzędziami w chemii analitycznej, gdzie konieczne jest interpretowanie wyników eksperymentów, określanie dokładności pomiarów, ocena niepewności i błędów pomiarowych, testowanie hipotez czy analiza regresji. Dodatkowo jest to nauka o zjawiskach, których często nie widzimy, dziejących się w świecie mikroskopowym, i to właśnie modele matematyczne umożliwiają przewidywanie zachowań układów chemicznych czy opis kinetyki reakcji, równowag chemicznych oraz termodynamiki.

Każda osoba zajmująca się naukami ścisłymi powinna znać podstawy algebry, która jest wykorzystywana do rozwiązywania równań chemicznych, obliczania stężeń i stosunków molowych, a także do przeliczania jednostek. Zrozumienie proporcji i równań liniowych jest fundamentalne dla wielu zagadnień chemicznych. Tak samo jak umiejętność sprawnego posługiwania się logarytmami, które są kluczowe w chemii kwasowo-zasadowej, szczególnie przy obliczaniu pH roztworów, a także do opisu szybkości reakcji i dynamicznych procesów chemicznych.

Nie można też zapomnieć o geometrii i trygonometrii, „królujących” w chemii strukturalnej i krystalografii, pozwalających na zrozumienie kształtu i właściwości cząsteczek – ale to akurat temat na zupełnie inny wpis.

Podczas obliczeń bardzo często Twoje wyniki będą zawierały więcej cyfr, niż musisz faktycznie wykorzystać czy podać w odpowiedzi.

Dla przykładu: masz informację, że podczas miareczkowania 19,6 cm³ wodorotlenku sodu całkowicie zobojętnia 25,0 cm³ roztworu kwasu chlorowodorowego o stężeniu 0,200 mol dm^–3. Obliczając stężenie zasady ze wzoru: C_z ∙ V_z = C_k ∙ V_k i wpisując na kalkulatorze podane wartości: (25,0 ∙ 0,200) ÷ 19,6 otrzymasz wynik: 0,2551020408… mol dm^–3. Oczywiście jest to dobry wynik, ale bardzo mocno wykracza poza błąd pomiarowy urządzeń, z których korzystasz, i nie ma sensu podawać go w takiej formie.

I tu z pomocą przychodzą cyfry znaczące, czyli cyfry w liczbie, które są ważne dla dokładności i precyzji danej wartości liczbowej. Są one kluczowe dla: dokładności pomiarów (informują o precyzji narzędzi pomiarowych i jakości danych), spójności obliczeń (umożliwiają poprawne zaokrąglanie wyników, co jest ważne przy wielokrotnych obliczeniach), interpretacji wyników (pozwalają określić, na ile wyniki eksperymentów są wiarygodne i jak należy je interpretować).

Cyfry znaczące obejmują:

• wszystkie cyfry niezerowe,
• zera, które znajdują się pomiędzy cyframi niezerowymi,
• zera na końcu liczby, jeśli są po przecinku dziesiętnym.

Wszystkie wykonane pomiary muszą być zapisane, z poprawną liczbą cyfr znaczących. Określenie ich jest dość proste, wystarczy policzyć cyfry od lewej do prawej, zaczynając od pierwszej liczby niezerowej, a kończąc na tej, która jest niepewna (czyli wynika z precyzji urządzenia pomiarowego).

Przykłady:

• • liczba 123 ma trzy cyfry znaczące,
  • liczba 1002 ma cztery cyfry znaczące
  • liczba 0,0032 ma dwie cyfry znaczące,
  • liczba 45,00 ma cztery cyfry znaczące,
  • liczba 0,405 ma trzy cyfry znaczące, 
  • liczba 7240 ma trzy cyfry znaczące,
  • liczba 0,7050 ma cztery cyfry znaczące.

Jak widzisz, wystarczy samo zaokrąglanie do cyfr znaczących, aby wyniki Twoich obliczeń już wyglądały bardziej profesjonalnie i były bliższe prawdziwym wartościom.

W tym poradniku zastosowano uniwersalne metody przedstawiania wyników działań matematycznych, czyli:

• w przypadku mnożenia i dzielenia wynik ma dokładnie tyle samo cyfr znaczących, ile ma liczba zastosowana do obliczeń z najmniejszą liczbą cyfr znaczących, np.:

5,55 (3 cyfry znaczące) ÷ 2,3 (2 cyfry znaczące) ≈ 2,41304 ≈ 2,4 (dwie cyfry znaczące) 

• w przypadku dodawania i odejmowania – wynik ma dokładnie tyle samo miejsc po przecinku, ile ma liczba użyta do obliczeń z najmniejszą liczbą miejsc po przecinku, np.:

7,813 (3 cyfry po przecinku) – 3,38 (2 cyfry po przecinku) ≈ 4,433 ≈ 4,43 (2 liczby po przecinku)

Przy zaokrąglaniu patrzymy wówczas na cyfrę kolejną, za tą, do której mamy zaokrąglić wynik, i gdy jej wartość mieści się:

• w przedziale 0–4 – nie zmieniamy wartości liczby poprzedzającej;

Dla przykładu:  3,45425  mamy zaokrąglić do 2 miejsc po przecinku ≈3,45

• w przedziale 6–5 – podnosimy wartość liczby poprzedzającej o 1;

Dla przykładu:  2,65669  mamy zaokrąglić do 2 miejsc po przecinku ≈2,66

Zaokrąglenia najlepiej robić na samym końcu obliczeń zadania.

Pamiętaj, żeby zawsze upewnić się, czy w poleceniu do zadania nie ma podanej wymaganej liczby miejsc po przecinku, do jakiej masz zaokrąglić swój wynik! Następnie zastosuj się do polecenia.

Liczby, z jakimi masz do czynienia na chemii, są zwykle albo bardzo małe, albo ogromne. Dlatego aby ułatwić pracę z nimi i przedstawić je w bardziej zwięzły i czytelny sposób, wyraża je się jako potęgi liczby 10.

Dla przykładu 1 550 000 możesz wyrazić jako 1,55 ∙ 10⁶, czyli 1,55 pomnożone przez 10 do potęgi 6:

1,55 ∙ 10⁶ = 1,55 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10

Do zalet notacji wykładniczej należą: czytelność (ułatwia czytanie i interpretację bardzo dużych i bardzo małych liczb), praktyczność (umożliwia szybkie porównywanie wartości różniących się o kilka rzędów wielkości) czy unikanie błędów (zmniejsza ryzyko błędów przy przepisywaniu lub obliczeniach z liczbami posiadającymi dużo cyfr).

Przykładowe zastosowanie w chemii to:

• liczba Avogadra, która wynosi około 6,022 ∙ 10²³ i służy do wyrażania liczby cząsteczek w molu substancji, 
• stężenia bardzo rozcieńczonych roztworów np. 1,5 ∙ 10⁻⁹ mol dm^–3, 
• wartości stałych fizycznych, takich jak stała gazowa R = 8,314 ∙ 10³J ∙ mol^–1 ∙ K^–1

Każde mnożenie razy 10 przesuwa przecinek o jedno miejsce w prawo:

1,55 ∙ 10 = 15,5
15,5 ∙ 10 = 155
155 ∙ 10 = 1550 itd.

Dlatego aby zamienić liczbę z notacją wykładniczą, np. 1,55 ∙ 10⁶, wystarczy, że przesuniesz przecinek o tyle razy w prawo, jaka potęga występuje przy liczbie 10.

W tym wypadku jest to 6-krotne przesunięcie. 

A teraz zamień liczbę 13 450 000 na zapis z zastosowaniem notacji wykładniczej.
Tym razem przesuń przecinek w lewo, a liczbę przesunięć umieść w potędze liczby 10. 

Zwykle stosuje się również konwencję, by pozostała jedna część całkowita (jedna liczba przed przecinkiem w przedziale 1–9), np. 2451 zapiszemy jako 2,451 ∙ 10³, a nie 24,51 ∙ 10² czy 0,2451 ∙ 10⁴. 

Klika innych przykładów:

4,7 = 4,7 ∙ 10⁰
79 = 7,9 ∙ 10¹
316 = 3,16 ∙ 10²
1129 = 1,129 ∙ 10³

Przejdźmy teraz do liczb mniejszych niż 1.

W tym wypadku zapisz liczbę tak, aby pozostała jedna część całkowita (jedna liczba przed przecinkiem) i podziel przez odpowiednią liczbę dziesiątek, np.: 

Każde dzielenie przez 10 przesuwa przecinek o jedno miejsce w lewo:

155 ÷ 10 = 15,5
15,5 ÷ 10 = 1,55
1,55 ÷ 10 = 0,155 itd.

Dlatego aby zamienić liczbę z notacją wykładniczą, np. 1,4 ∙ 10^–5, wystarczy, że przesuniesz przecinek w lewo, a liczbę tych przesunięć umieścisz ze znakiem minusa w potędze.

W tym wypadku jest to 5-krotne przesunięcie. 

A teraz zamień liczbę 0,0000065 na zapis w formie notacji wykładniczej.

Tym razem przesuń przecinek w prawo, a liczbę przesunięć umieść z minusem w potędze liczby 10. 

Klika innych przykładów:

0,47 = 4,7 ∙ 10^–1
0,079 = 7,9 ∙ 10^-2
0,000316 = 3,16 ∙ 10^-4
0,0000001129 = 1,129 ∙ 10^-7

Reasumując, każdą liczbę można zapisać w formacie:

Gdzie:

M – część liczbowa, mantysa
m – wykładnik, liczba całkowita.

Jeżeli wykładnik jest dodatni, oznacza to, że przesuwamy przecinek o „m” miejsc w prawo.
Jeżeli wykładnik jest ujemny, oznacza to, że przesuwamy przecinek o „m” miejsc w lewo.

Gdy mnożymy liczby wyrażone w notyfikacji wykładniczej, to mnożymy ze sobą mantysy, a wykładniki dodajemy. 

Dla przykładu:

(1,5 ∙ 10³)∙(4,1 ∙ 10⁴) = 1,5 ∙ 4,1 ∙ 10³⁺⁴ ≈ 6,2 ∙ 10⁷

Inne przykłady:

(3,31 ∙ 10²)∙(1,7 ∙ 10³) = 3,31 ∙ 1,7 ∙ 10^{2 +3} ≈ 5,6 ∙ 10⁵
(1,1 ∙ 10^-2)∙(4,05 ∙ 10³) = 1,1 ∙ 4,05 ∙ 10^-2+3 ≈ 4,5 ∙ 10¹
(2,15 ∙ 10¹)∙(3,3 ∙ 10^-2) = 2,15 ⋅ 3,3 ∙ 10^{1 + (-2)} ≈ 7,1 ∙ 10^-1
(1,65 ∙ 10^-2)∙(2,34 ∙ 10^-4) = 1,65 ∙ 2,34 ∙ 10^{-2 + (-4)} ≈ 3,86 ∙ 10^-6

Gdy dzielimy liczby wyrażone w notyfikacji wykładniczej, to dzielimy przez siebie liczby, a wykładniki odejmujemy. 

Dla przykładu:

(4,6 ∙ 10³)÷(2,1 ∙ 10⁴) = 4,6 ÷ 2,1 ∙ 10^3-4 ≈ 2,2 ∙ 10^-1

Jeżeli wynik dzielenia jest mniejszy niż 1, wówczas przesuń przecinek o jedno miejsce w prawo i zwiększ wartość potęgi o 1. 

Dla przykładu:

(2,2 ∙ 10³)÷(8,5 ∙ 10⁵) = 2,2 ÷ 8,5 ∙ 10^3-5 ≈ 0,26 ∙ 10^-2 ≈ 2,6 ∙ 10^-3

Inne przykłady:

(1,11 ∙ 10²)÷(6,71 ∙ 10³) = 1,11 ÷ 6,71 ∙ 10^2-3 ≈ 0,165 ∙ 10^-1 ≈ 1,65 ∙ 10^-2
(4,27 ∙ 10^-2)÷(6,05 ∙ 10³) = 4,27 ÷ 6,05 ∙ 10^-2-3 ≈ 0,706 ∙ 10^-5 ≈ 7,06 ∙ 10^-6
(1,3 ∙ 10¹)÷(5,55 ∙ 10^-2) = 1,3 ÷ 5,55 ∙ 10^1-(-2) ≈ 0,234 ∙ 10³ ≈ 2,3 ∙ 10²
(7,65 ∙ 10^-2)÷(9,14 ∙ 10^-4) = 7,65 ÷ 9,14 ∙ 10^-2-(-4) ≈ 0,83698 ∙ 10² ≈ 8,37 ∙ 10¹

Aby dodać lub odjąć od siebie liczby zapisane w notacji wykładniczej, musisz się upewnić, że wszystkie wykładniki są identyczne.

Przykładowo, aby dodać do siebie 3,15 ∙ 10³ i 2,2 ∙ 10², musisz jedną z tych liczb przekształcić w taki sposób, aby wykładniki były takie same. Możesz wybrać dowolną z tych liczb.

3,15 ∙ 10³ zamień na 31,5 ∙ 10², przesuwając przecinek o jedno miejsce w prawo i obniżając tym samym wykładnik o 1.

3,15 ∙ 10³ = 31,5 ∙ 10²

Teraz już możesz dodać do siebie te liczby: 

  31,5 ∙ 10²
+ 2,2 ∙ 10²
——————
= 33,7 ∙ 10²

Teraz zamień tę liczbę, by znów mieć jedną cyfrę “przed przecinkiem”, przesuwając go o jedno miejsce w lewo, oraz zwiększając wykładnik o 1.

33,7 ∙ 10² = 3,37 ∙ 10³ ≈ 3,4 ∙ 10³

Inne przykłady:

(3,55 ∙ 10³)÷(3,31 ∙ 10²) = (35,5 ∙ 10²)÷(3,31 ∙ 10²) ≈ 38,81 ∙ 10² ≈ 3,88 ∙ 10³
(4,44 ∙ 10^-2)÷(8,05 ∙ 10^-3) = (44,4 ∙ 10^-3)÷(8,05 ∙ 10^-3) ≈ 52,45 ∙ 10^-3 ≈ 5,25 ∙ 10^-2
(1,5 ∙ 10⁷)÷(1,18 ∙ 10⁶) = (15,0 ∙ 10⁶)÷(1,18 ∙ 10⁶) ≈ 16,18 ∙ 10⁶ ≈ 1,6 ∙ 10⁷
(9,15 ∙ 10^-4)÷(5,35 ∙ 10^-3) = (9,15 ∙ 10^-4)÷(53,5 ∙ 10^-4) ≈ 62,65 ∙ 10^-4 ≈ 6,27 ∙ 10^-3

Podobnie jest w przypadku odejmowania – też musisz mieć wszystkie liczby zapisane za pomocą notacji wykładniczej z takimi samymi wykładnikami.

Przykładowo: aby odjąć od 7,51 ∙ 10^-2 liczbę 1,3 ∙ 10^-3, musisz jedną z tych liczb przekształcić w taki sposób, aby wykładniki były takie same. Możesz wybrać dowolną z tych liczb.

7,51 ∙ 10^-2 zamień na 75,1 ∙ 10^-3, przesuwając przecinek o jedno miejsce w prawo i obniżając tym samym wykładnik o 1.

7,51 ∙ 10^-2 = 75,1 ∙ 10^-3

Teraz już możesz odjąć do siebie te liczby: 

  75,1 ∙ 10^-3
– 1,3 ∙ 10^-3
——————
= 73,8 ∙ 10^-3

Teraz zamień tę liczbę, aby znów mieć jedną cyfrę “przed przecinkiem”, przesuwając go o jedno miejsce w lewo, oraz zwiększając wykładnik o 1.

73,8 ∙ 10^-3 = 7,38 ∙ 10^-2 ≈ 7,4 ∙ 10^-2

Inne przykłady:

(4,60 ∙ 10³)÷(3,51 ∙ 10²) = (46,0 ∙ 10²)÷(3,51 ∙ 10²) ≈ 42,5 ∙ 10² ≈ 4,25 ∙ 10³
(1,11 ∙ 10^-2)÷(2,05 ∙ 10^-3) = (11,1 ∙ 10^-3)÷(2,05 ∙ 10^-3) ≈ 9,05 ∙ 10^-3
(3,5 ∙ 10⁷)÷(1,36 ∙ 10⁶) = (35,0 ∙ 10⁶)÷(1,36 ∙ 10⁶) ≈ 33,64 ∙ 10⁶ ≈ 3,4 ∙ 10⁷
(3,25 ∙ 10^-4)÷(1,29 ∙ 10^-3) = (3,25 ∙ 10^-4)÷(12,9 ∙ 10^-4) ≈ -9,65 ∙ 10^-4

Gdy potęgujesz liczbę zapisaną w notacji wykładniczej, to liczbę podnosisz do potęgi, a wykładnik mnożysz przez wartość potęgi. 

Dla przykładu:

(3,5 ∙ 10²)³ = 3,5³ ∙ 10^2∙3 ≈ 42,875 ∙ 10⁶ ≈ 4,3 ∙ 10⁷

Inne przykłady:

(2,25 ∙ 10³)² = 2,25² ∙ 10^3∙2 ≈ 5,0625 ∙ 10⁶ ≈ 5,06 ∙ 10⁶
(1,5 ∙ 10^-3)⁴ = 1,5⁴ ∙ 10^-3∙4 ≈ 5,0625 ∙ 10^-12 ≈ 5,1 ∙ 10^-12
(3,3 ∙ 10^-6)³ = 3,3³ ∙ 10^-6∙3 ≈ 35,937 ∙ 10^-18 ≈ 3,6 ∙ 10^-17

Gdy pierwiastkujesz liczbę zapisaną w notacji wykładniczej, to liczbę pierwiastkujesz, a wykładnik dzielisz przez wartość pierwiastka. 

Dla przykładu:

Inne przykłady:

Ponieważ wynik dzielenia wykładnika przez wartość pierwiastka musi być liczbą całkowitą, czasami trzeba dostosować wykładnik, zmieniając liczbę miejsc po przecinku. 

Dla przykładu:

Inne przykłady:

Logarytmy są jednym z podstawowych narzędzi matematycznych, które znalazły szerokie zastosowanie w naukach przyrodniczych, w tym w chemii. Ich zdolność do przekształcania iloczynów w sumy, a potęg w iloczyny, czyni je niezwykle użytecznymi w upraszczaniu skomplikowanych obliczeń i analizie danych eksperymentalnych. W chemii, gdzie operujemy na bardzo dużych lub bardzo małych liczbach, logarytmy umożliwiają precyzyjne i efektywne przekształcanie oraz interpretację wyników.

Przykładowe zastosowanie w chemii to: 

• skala pH,  która służy do określania kwasowości lub zasadowości roztworów. Skala pH jest zdefiniowana jako ujemny logarytm dziesiętny stężenia jonów wodorowych: –log [H⁺]. Dzięki logarytmom wartości pH można przedstawiać w prosty i czytelny sposób, mimo że stężenia jonów wodorowych mogą być bardzo małe;
• energia swobodna Gibbsa (np. służy do oceny, czy reakcja jest samorzutna w danych warunkach, czy do określenia położenia stanu równowagi): ΔG^⦵> = –RT lnK (gdzie ΔG^⦵,  to standardowa zmiana energii swobodnej, R to stała gazowa, T to temperatura w kelwinach, a K to stała równowagi reakcji);
• kinetyka reakcji, gdzie równania opisujące szybkość reakcji często przyjmują formy logarytmiczne, co umożliwia łatwiejsze wyznaczanie parametrów kinetycznych.

Logarytm to wykładnik potęgi. Każdą liczbę M można wyrazić w następujący sposób: 

Dla przykładu:

100 = 10²
10 = 10¹
1 = 10⁰
0,1 = 10^–1
0,02 = 10^–2

Logarytm dziesiętny, czyli o podstawie 10, to potęga, do której należy podnieść liczbę 10, aby otrzymać daną liczbę. 

Zatem skoro 1000 = 10³, to log 1000 = 3

Inne przykłady:

log 100 = 10² = 2
log 10 = 10¹ = 1
log 1 = 10⁰ = 0

Dla liczby pomiędzy 10 a 100 wykładnik potęgi 10 będzie pomiędzy 1 a 2. 

Dla przykładu: 

44 = 10^1,6435 to znaczy, że log 44 ≈ 1,6435

Inne przykłady:

12 = 10^1,0792 to znaczy, że log 12 ≈ 1,0792
98 = 10^1,9912 to znaczy, że log 98 ≈ 1,9912

Dla liczby pomiędzy 100 a 1000 wykładnik potęgi 10 będzie pomiędzy 2 a 3. 

Dla przykładu:

105 = 10^2,0212 to znaczy, że log 105 ≈ 2,0212

Inne przykłady:

666 = 10^2,8235 to znaczy, że log 666 ≈ 2,8235
890 = 10^2,9494 to znaczy, że log 890 ≈ 2,9494

Natomiast dla liczb, które są większe od 0, ale mniejsze niż 1, można przedstawić wzór: 

Dla przykładu:

Inne przykłady:

Najwygodniejszą metodą obliczeń związanych z logarytmami jest użycie kalkulatora (Różne modele kalkulatorów mogą mieć różne symbole czy układy przycisków, ale metodyka jest zbliżona). 

Wpasowuje się to w trend współczesnego podejścia do nauczania i przeprowadzania egzaminów, takich jak matura, które opierają się na wykorzystaniu nowoczesnych narzędzi, ułatwiających i przyspieszających proces rozwiązywania zadań. Warto jednak dodać, iż dopiero Formuła 2023 egzaminu dopuściła korzystanie z kalkulatora naukowego podczas egzaminu maturalnego z chemii; wcześniej uczniowie musieli wykorzystywać tablice logarytmiczne (!), które były dołączane do tablic maturalnych. 

Kalkulator naukowy, który w kontekście obliczeń logarytmicznych oferuje wiele korzyści w porównaniu do tradycyjnych tablic logarytmicznych, zwiększa dokładność, automatyzuje i znacząco przyspiesza proces obliczeń, jest dużo prostszym narzędziem oraz bardziej intuicyjnym.

Szczegóły dotyczące tego, jakie są rodzaje kalkulatorów oraz które z nich są dozwolone na egzaminie maturalnym z chemii, znajdziesz w naszym poradniku dotyczącym kalkulatora na maturze.

Na większości nowoczesnych kalkulatorów najpierw wprowadza się symbol logarytmu:

a następnie wprowadza liczbę: 

Logarytm liczby pojawia się wówczas na wyświetlaczu: 

Inne przykłady: 

log 3,5:

→

log 1,5 ∙ 10³: 

 → →

log 6,1 ∙ 10^-5: 

→ →

Ponieważ logarytmy są po prostu wykładnikami, odnoszą się do nich wszelkie działania matematyczne wykładników:

• mnożenie:

• dzielenie:

• potęgowanie:

• pierwiastkowanie:

Gdy podany jest logarytm dziesiętny, aby znaleźć reprezentowaną przez niego liczbę, musisz przeprowadzić proces potęgowania (czasami nazywany obliczaniem antylogarytmu, czyli logarytmu odwrotnego).

Po prostu podnosisz liczbę 10 do potęgi, będącej wartością logarytmu: 

Dla przykładu:

jeśli logarytm m wynosi 2, wtedy M = 10^m, czyli  1 ∙ 10² (= 100)

Inne przykłady:

jeśli log = 7, wtedy wynik = 10⁷ (= 10 000 000)

jeśli log = –3, wtedy wynik = 10^–3 (= 0,001)

jeśli log = 1,5, wtedy wynik = 10^1,5 (≈ 31,622 ≈ 3,2 ∙ 10¹)

jeśli log = –2,15, wtedy wynik = 10^–2,15 (≈ 0,007079 ≈ 7,08 ∙ 10^–3)

Najwygodniejszą metodą tego typu obliczeń jest użycie kalkulatora (Różne modele kalkulatorów mogą mieć różne symbole czy układy przycisków, ale metodyka jest zbliżona).

Na większości nowoczesnych kalkulatorów najpierw wprowadza się liczbę 10: 

następnie symbol potęgowania „^”: 

po czym wpisuje wartość logarytmu: 

Wynik pojawia się na wyświetlaczu (zależnie od ustawień wyświetlania, w formacie standardowym lub notacji wykładniczej): 

LUB

Inne przykłady:

10^1,5: 

10^–2,15: 

Mamy nadzieję, że dzięki temu poradnikowi nie będziesz już się zastanawiać, co to jest notacja wykładnicza, na czym polega przesuwanie przecinka, czy istnieje kalkulator notacji wykładniczej oraz jak  obliczać logarytmy na kalkulatorze.

Niemniej pamiętaj, że niezbędnym elementem nauki matematyki i przedmiotów, w których ona jest szeroko wykorzystywana, jest regularne ćwiczenie i rozwiązywanie zadań. Samo zrozumienie teorii nie wystarczy – kluczem do sukcesu jest praktyka. Zachęcamy do systematycznego rozwiązywania zadań, w tym również z wykorzystaniem kalkulatora, co pozwoli na utrwalenie wiedzy i zdobycie pewności siebie przed egzaminem maturalnym.