Wybrane wzory matematyczne na maturę - Top 5, które warto znać

Wzory maturalne – matematyka

Na egzaminie maturalnym z matematyki – niezależnie od poziomu – musisz wykazać się nie tylko logicznym myśleniem i umiejętnością rozwiązania problemu przedstawionego w zadaniu. Liczy się także konkretna wiedza matematyczna. Kluczową rolę odgrywają tutaj maturalne wzory matematyczne – ich znajomość i właściwe zastosowanie. W zależności od tego, czy zdajesz egzamin na poziomie podstawowym, czy rozszerzonym, wzory matematyczne na maturę będą się różnić – poziom rozszerzony opiera się bowiem na bardziej rozbudowanych wymaganiach, zawartych w podstawie programowej.

Istnieje grupa wzorów, które wyjątkowo często pojawiają się na egzaminie maturalnym. Warto je znać, ponieważ ułatwiają rozwiązywanie wielu typowych zadań.

W tym wpisie przedstawiamy pięć zagadnień, których nie należy pomijać w przygotowaniach do matury. Warto poznać dotyczące ich maturalne wzory – matematyka okaże się dzięki nim łatwiejsza, niż myślisz. Znajdziesz je także w zestawie Wybranych wzorów matematycznych.

Wybrane wzory matematyczne CKE (Centralnej Komisji Egzaminacyjnej)

Oczywiście im lepiej znasz wzór, tym szybciej i sprawniej zastosujesz go na egzaminie. Pamiętaj jednak, że na maturze z matematyki (niezależnie od poziomu) każdy zdający otrzymuje od CKE broszurę z wybranymi wzorami matematycznymi. Dokument różni się w zależności od formuły egzaminu (2015 lub 2023). Znajdziesz w nim kilkanaście stron przydatnych informacji. Mogą okazać się pomocne, gdy dopadnie Cię stres lub zapomnisz, jak dokładnie wyglądają konkretne maturalne wzory – matematyka to przedmiot, w którym szczegóły są istotne. Nawet drobna pomyłka może doprowadzić do błędnego wyniku całego zadania.

Żeby sprawnie korzystać ze wzorów i nie marnować czasu na ich szukanie, warto zapoznać się z broszurą jeszcze na etapie nauki, podczas rozwiązywania zadań. Dzięki temu na egzaminie będziesz wiedzieć, gdzie znajduje się konkretny wzór oraz jak poprawnie go użyć.

Poniżej możesz sprawdzić układ dokumentu w wersji elektronicznej:

• dla formuły 2023 (matematyka na poziomie podstawowym i rozszerzonym),

• dla formuły 2015.

Przetestuj w praktyce, jak wykorzystać wzory matematyczne – maturalne arkusze zadań z lat ubiegłych Ci w tym pomogą. Możesz nawet zasymulować prawdziwe warunki egzaminu: wydrukuj arkusz, ustaw limit czasu, samodzielnie rozwiązuj zadania i korzystaj z papierowej wersji Wybranych wzorów matematycznych.

Taka forma ćwiczeń pozwoli Ci nie tylko utrwalić wiedzę, ale też nauczy sprawnego posługiwania się kartami wzorów – dokładnie tak, jak zrobisz to na maturze.

Wybrane wzory matematyczne, które warto znać na maturze – z przykładami i omówieniem

Poniżej zebraliśmy nasze TOP 5 wzorów, które po prostu warto znać! Przy każdym temacie znajdziesz przykładowe zadania z arkuszy egzaminacyjnych CKE z lat ubiegłych lub z arkuszy testów diagnostycznych oraz odpowiednie fragmenty kart wzorów. Przeanalizuj je, jeśli chcesz wiedzieć, jak pracować z dostępnymi na egzaminie wzorami podczas rozwiązywania zadań.

Wzory skróconego mnożenia

Choć niektórym mogą wydawać się problematyczne, wzory te znacznie ułatwiają rozwiązywanie zadań. Można dokonać obliczeń bez ich użycia, rozpisując odpowiednio działanie, natomiast wzrasta wówczas ryzyko popełnienia błędu i wydłuża się czas spędzony przy danym zadaniu.

👉 Przykład 1: CKE, maj 2023 (formuła 2023), poziom podstawowy, zad. 5 (0–1 pkt)

Po uważnym przeczytaniu treści zadania wiesz już, że Twoim zadaniem jest uproszczenie podanego wyrażenia. Możesz oczywiście spróbować krok po kroku pozbyć się nawiasów, jednak rodzi to duże ryzyko popełnienia błędu. Dlatego skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia (strona 7 kart wzorów CKE):

Wykorzystując powyższe wzory, rozpisz po kolei składniki wyrażenia:
(2a - 3)² = 4a² - 12a + 9
(2a + 3)² = 4a² + 12a + 9

Wystarczy, że podstawisz rozpisane składniki do wyrażenia:
(2a - 3)² - (2a + 3)² = (4a² - 12a + 9) - (4a² + 12a + 9) = 4a² - 12a + 9 - 4a² - 12a - 9 = −24a

Prawidłową odpowiedzią jest A. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

👉 Przykład 2: CKE, maj 2016 (formuła 2015), poziom podstawowy, zad. 4 (0–1 pkt)

Twoim zadaniem jest znalezienie odpowiedniej liczby a, dla której powyższa równość jest prawdziwa. W tym celu należy uprościć równanie, pozbywając się nawiasu po lewej stronie. Skorzystaj więc ze wzorów skróconego mnożenia – a konkretnie ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch liczb (strona 7 kart wzorów CKE).

(2√2 - a)² = (2√2)² - 2 · 2√2 · a + a² = 8 - 4√2a + a² = a² - 4√2a + 8

Podstaw powyższe rozwiązanie do równości, a następnie porównaj lewą i prawą stronę równania:

a² - 4√2a + 8 = 17 - 12√2

Podziel równanie na dwie części (z pierwiastkiem i bez pierwiastka) i porównaj odpowiednie współczynniki (stojące przy √2 i wyrazy stałe):

Obydwa warunki spełnia jedynie a = 3. Poprawną odpowiedzią jest zatem A. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

Wzory maturalne – logarytmy

Logarytmy często kojarzą się negatywnie i nie należą do ulubionych, ale gdy zrozumiesz zasadę ich tworzenia i obliczania, okazują się nie tylko przystępne, lecz także intrygujące.

👉 Przykład 1: CKE, maj 2023 (formuła 2023), poziom podstawowy, zad. 4 (0–1 pkt)

W tym zadaniu zwróć uwagę na podstawy logarytmów. Powinieneś odwołać się do własności logarytmów mówiącej, że suma logarytmów o tej samej podstawie jest logarytmem iloczynu. Wykorzystując karty wzorów maturalnych (strona 5 kart wzorów CKE), przypomnisz sobie, że:

Zastosuj powyższy wzór, aby zapisać przykład podany w zadaniu w takiej postaci, czyli jako:

log₉27 + log₉3 = log₉(27 · 3) = log₉81

Teraz pozostaje jedynie wrócić do definicji logarytmu i odpowiedniego wzoru, który również znajdziesz w karcie wzorów (strona 5 kart wzorów CKE):

Skoro 81 = 9², odnosząc się do definicji logarytmu, można stwierdzić, że prawdziwa jest równość:

log₉81 = 2, ponieważ 9² = 81

A zatem: log₉27 + log₉3 = 2

Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

👉 Przykład 2: CKE, maj 2016 (formuła 2015), poziom podstawowy, zad. 2 (0–1 pkt)

Aby rozwiązać to zadanie, sięgnij ponownie do definicji logarytmu:

Zgodnie z powyższą definicją, wartością logarytmu zawartego w zadaniu będzie wykładnik c potęgi, do której trzeba podnieść liczbę a = √2, żeby otrzymać b = 2√2. A zatem:

(√2)^c = 2√2

2√2 = √2 · √2 · √2 = (√2)³

Szukanym wykładnikiem c potęgi jest liczba 3. Poprawną odpowiedzią jest więc odpowiedź D. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

Wzory matematyczne – geometria

👉 Przykład 1: CKE, maj 2024 (formuła 2023), poziom podstawowy, zad. 21 (0–1 pkt)

Szkicowanie bardzo ułatwia rozwiązywanie tego typu zadań. W tym przypadku możesz posłużyć się takim rysunkiem:

Z własności równoległoboku wiesz, że suma miar kątów leżących przy jednym jego boku wynosi 180°, a zatem: α + 120° = 180° , α = 60°.

Mając podane długości boków równoległoboku oraz znając miarę kąta ostrego między nimi, możesz skorzystać ze wzoru na jego pole z kart wzorów (znajdziesz go w karcie wzorów CKE na stronie 21):

P = 3 · 4 · sin 60°
P = 12 sin 60°

Karty wzorów okazują się bardzo przydatne, ponieważ możesz teraz odczytać z nich wartość funkcji trygonometrycznej dla wybranego kąta (strona 13):

Źródło: Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, CKE, formuła 2023 [2]

P = 12 sin 60°
P = 12 · ^√3/₂
P = 6√3

Poprawną odpowiedzią jest odpowiedź D. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

👉 Przykład 2: CKE, grudzień 2024 (formuła 2023), poziom podstawowy, zad. 19 (0–4 pkt)

Na początek przypomnij sobie, jaki jest wzór na pole trapezu – możesz też sprawdzić go na kartach wzorów (strona 20 kart wzorów CKE) – aby wiedzieć, których długości boków potrzebujesz:

Skoro trójkąt ABC jest prostokątny, to suma miar dwóch pozostałych kątów (możesz oznaczyć je jako α i β) musi wynosić 90°.

Trapez ABCD jest prostokątny i ma jeden kąt prosty ADC. Zauważ, że kąt DAB również musi być prosty – suma kątów DAC i α to 90°, a skoro α + β = 90°, to kąt DAC = β.

Pamiętając, że suma miar kątów w trójkącie to 180°, wiesz już, że:

90° + kąt ACD + kąt DAC = 180°
90° + kąt ACD + β = 180°   / −90°
kąt ACD + β = 90°, a:
α + β = 90° , więc kąt ACD = α

Teraz skup się na zależnościach między bokami trójkątów i, zaglądając do kart z wzorami z działu o planimetrii, skorzystaj z cechy podobieństwa trójkątów kąt–kąt–kąt (strona 17 kart wzorów CKE).

Trójkąty ABC i ACD są do siebie podobne, bo mają kąty takich sam miar.

W tym zadaniu przyda Ci się również cecha bok–bok–bok (strona 17 kart wzorów CKE):

W przypadku trójkątów z zadania będzie to: ^|CA|/_|AB| =^|DC|/_|CA|.

Skoro należy obliczyć pole trapezu, potrzebujesz długości boków |DC| i |AD|.

⁶/_7,5 = ^|DC|/₆       / · 6
36/_7,5 = |DC|
|DC| = 4,8

Do obliczenia wysokości trapezu, czyli |AD|, możesz użyć twierdzenia Pitagorasa, mówiącego, że suma kwadratów długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej, czyli a² + b² = c² (strona 15 kart wzorów CKE):

Dla trójkąta ACD:

|AD|² + 4,8² = 6²
|AD|² + 23,04 = 36   / −23,04
|AD|² = 12,96            / √
|AD| = 3,6

Na koniec pozostaje wykorzystać wzór na pole trapezu – w tym wypadku, po podstawieniu odpowiednich wartości, otrzymasz pole trapezu ABCD równe 22,14.

Wzory maturalne – funkcja kwadratowa

Funkcji kwadratowej poświęcono w broszurze dość dużo miejsca – zamieszczono zapis jej postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej, wzory na współrzędne wierzchołka, deltę i miejsca zerowe, a także przykładowe wykresy z ramionami skierowanymi w górę lub w dół – w zależności od wartości współczynnika a.

👉 Przykład 1: CKE, czerwiec 2023 (formuła 2023), poziom podstawowy, zad. 14 (0–1 pkt)

Po dokładnym wczytaniu się w dane zadania, możesz zacząć od określenia kierunku ramion paraboli, wiedząc, że a<0. Informację tą znajdziesz w kartach wzorów (strona 8 kart wzorów CKE):

Jeśli współczynnik a jest mniejszy od zera, to ramiona paraboli będą skierowane w dół – a jest tak tylko na wykresach B. i D. Odpowiedzi A. i C. możesz więc odrzucić. Teraz przyjrzyj się wykresom B. i D. Czym się różnią? Odpowiedź: położeniem wierzchołka. Spróbuj zatem je ustalić. Skorzystaj ze wzoru z kart wzorów:

Należy ustalić znak p, gdyż parabole w odpowiedziach B. i D. różnią się położeniem wierzchołka – znajdującego się po lewej lub po prawej stronie osi OY. Korzystając z informacji zawartej w treści zadania – a<0 i b>0 – otrzymasz:

Argument p ma wartość dodatnią, czyli wierzchołek paraboli znajduje się po prawej stronie osi OY. Prawidłowa będzie zatem odpowiedź D. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

👉 Przykład 2: CKE, sierpień 2022 (formuła 2015), poziom podstawowy, zad. 11 (0–1 pkt)

W powyższym zadaniu należy wskazać przedział, dla którego podana funkcja jest rosnąca. Przydatne w rozwiązywaniu będzie pojęcie monotoniczności funkcji. Przyjrzyj się podanemu wzorowi funkcji. Wykorzystaj tablice, w których odnajdziesz postać iloczynową funkcji kwadratowej (strona 9 kart wzorów CKE):

Ze wzoru zawartego w zadaniu możesz teraz łatwo odczytać, że a = −2, czyli a<0, a miejsca zerowe to x₁ = 2 i x₂ = −1. Parabola ma zatem ramiona skierowane w dół:

Funkcja jest rosnąca na przedziale (−∞, p>, czyli poprawna jest odpowiedź A – funkcja jest rosnąca na przedziale (−∞, ¹/₂>. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

Wzory maturalne – trygonometria

Na rozgrzewkę zadanie odnoszące się do funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus, tangens) w trójkącie prostokątnym.

👉 Przykład 1: CKE, grudzień 2023 (formuła 2023), poziom podstawowy, zad. 17 (0–1 pkt)

Rozwiązywanie tego zadania możesz rozpocząć od zajrzenia do tablic (strona 11 kart wzorów CKE). Odczytasz z nich, które boki trójkąta prostokątnego są brane pod uwagę przy obliczaniu sinusa:

Jest to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej i z zadania wiesz już, że wynosi ^√5/₃. Możesz zatem przyjąć, że przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość √5x, a przeciwprostokątna 3x, gdzie x to dowolna liczba rzeczywista dodatnia.

Teraz sprawdź, które boki są niezbędne do otrzymania tangensa, którego szukasz w tym zadaniu. Tangens kąta α to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta α, czyli √5x, do przyprostokątnej przyległej do kąta α, której długości nie znasz. Tutaj z pomocą przychodzi twierdzenie Pitagorasa:

(√5x)² + (b)² = (3x)²
5x² + b² = 9x²         / −5x²
b² = 4x²                  / √
b = 2x

Przyprostokątna przyległa do kąta ma długość 2x. Wystarczy podstawić znalezione długości boków trójkąta do zawartego w kartach wzoru na tangens kąta α.

tg α = ^√5x/_2x = ^√5/₂

Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź A. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

Kolejne zadanie to przykład wykorzystujący związki między funkcjami trygonometrycznymi.

👉 Przykład 2: CKE, maj 2023 (formuła 2023), poziom podstawowy, zad. 19 (0–1 pkt)

W tym zadaniu należy przekształcić podane wyrażenie do innej postaci. W wyrażeniu oba składniki mają wspólny czynnik sin2. Wykorzystaj to i wyciągnij wspólny czynnik przed nawias:
sin⁴α + sin²α · cos²α = sin²α · sin²α + sin²α · cos²α = sin²α · (sin²α + cos²α)

Zwróć uwagę na związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta (strona 12 kart wzorów CKE):

Wykorzystaj tę wskazówkę i w wyrażeniu: sin²α (sin²α + cos²α) zastąp (sin²α + cos²α) liczbą 1.

sin²α · (sin²α + cos²α) = sin²α (1) = sin²α

Wyrażenie jest równe sin²α. Poprawna jest więc odpowiedź A. Nie zapomnij zaznaczyć odpowiedzi na karcie odpowiedzi.

Jak rozwiązywać zadania maturalne z matematyki?

Staraj się podchodzić do każdego zadania ze spokojem – przeczytaj dokładnie jego treść, najlepiej dwa razy lub tyle, ile potrzebujesz. Sprawdź, jakie są dane, i co jest Twoim celem – czego się od Ciebie oczekuje w poleceniu. Zastanów się, jak możesz dojść do rozwiązania. Przeanalizuj, co już wiesz, i czego Ci jeszcze brakuje, aby osiągnąć cel. Sprawdź, czy w broszurze CKE znajdują się potrzebne Ci wzory maturalne – matematyka nie toleruje pomyłek, dlatego, jeśli masz wątpliwości, upewnij się, że dobrze pamiętasz zapis wzoru, którego chcesz użyć. Zadania, szczególnie otwarte, rozwiązuj krok po kroku, aby egzaminator mógł zrozumieć Twój tok myślenia. Staraj się pisać czytelnie. Na koniec sprawdź swoje obliczenia i, jeśli to potrzebne, nanieś poprawki.

W tekście przedstawiliśmy jedynie wybrane wzory matematyczne – ich dobór wynika z naszych doświadczeń i obserwacji. Jeśli chcesz osiągnąć satysfakcjonujący wynik na egzaminie maturalnym z matematyki, musisz znać wszystkie wymagania zawarte w podstawie programowej, w tym wzory matematyczne maturalne. Wiele z nich znajdziesz w broszurze CKE. Pamiętaj jednak, że nie wszystkie zostały tam ujęte. Matura z matematyki weryfikuje również wiedzę i umiejętności zdobyte na wcześniejszych etapach edukacji. Nic nie zastąpi sprawności w rozwiązywaniu zadań, zdobywanej dzięki samodzielnej i regularnej pracy – to właśnie tę umiejętność warto wyćwiczyć przed przystąpieniem do egzaminu.

Karty wzorów to nie jedyna pomoc przydatna na maturze z matematyki. Na egzamin możesz zabrać ze sobą także takie przybory, jak m.in. kalkulator (w odpowiednim typie). Więcej na ten temat przeczytasz w naszym wpisie Co można mieć na maturze z matematyki? Przydatne wskazówki dla zdających. A jeśli szukasz ogólnych informacji o przebiegu egzaminu i jego warunkach, zajrzyj do informatora o maturze z matematyki — na poziomie podstawowym lub rozszerzonym.

Bibliografia

• [1] Zadanie #3786, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, maj 2023 (formuła 2023), zad. 5. 

• [2] Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki, CKE, formuła 2023.

• [3] Zadanie #3942, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, maj 2016 (formuła 2015), zad. 4.

• [4] Zadanie #3765, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, maj 2023 (formuła 2023), zad. 4.

• [5] Zadanie #3904, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, maj 2016 (formuła 2015), zad. 2.

• [6] Zadanie #4365, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, maj 2024 (formuła 2023), zad. 21.

• [7] Zadanie #4366, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, Test diagnostyczny, grudzień 2024 (formuła 2023), zad. 19. 

• [8] Zadanie #4072, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, czerwiec 2023 (formuła 2023), zad. 14. 

• [9] Zadanie #4067, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, sierpień 2022 (formuła 2015), zad. 11. 

• [10] Zadanie #4135, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, Test diagnostyczny, grudzień 2023 (formuła 2023), zad. 17. 

• [11] Zadanie #4304, Kurs maturalny z Matematyki – poziom podstawowy, Więcej niż Matura, za: CKE, Egzamin maturalny. Matematyka. Poziom podstawowy, maj 2023 (formuła 2023), zad. 19.